四維超空間是什麼樣子?
2019年09月15日10:09

  文章來源:科學大院

  “三維世界”的概念,我們早已耳熟能詳,但第四維的概念常常蒙著一層惹人疑惑的神秘色彩。作為被長度、高度和寬度所限的生物,我們哪兒來的膽量高談闊論四維空間?

  用盡我們三維頭腦的所有智慧,是否有可能想像出四維超空間的模樣?

  四維的立方體或者球體看起來會是什麼樣子?

  如果要你想像一頭尾巴長滿鱗片、鼻孔噴出火焰的巨龍,或者一架內設游泳池、機翼上有網球場的奢華飛機,你會在腦海中繪出一幅畫面,試圖描摹這件物體突然出現在你眼前的時候會是什麼模樣。

  而這幅畫的背景自然是正常的三維空間,你熟悉的所有物體,包括你自己在內,都存在於這樣的空間里。如果這就是“想像”的確切含義,那麼我們似乎不太可能想像出以正常三維空間為背景的四維物體,正如三維物體不可能被擠進平面一樣。

  但是,等等,從某種意義上說,我們的確能將三維物體壓進平面,只要畫一幅畫就行。

  不過在這種情況下,我們借助的當然不是液壓機床或者其他什麼物理力量,而是一種名為幾何“投影”的繪畫技巧。要將某件物體(比如說一匹馬)壓進平面,看看下圖,你立即就會明白這兩種方式有何區別。

將三維物體“壓在”二維面上的兩種方法,左邊的方法是錯的,右邊的法子才對
將三維物體“壓在”二維面上的兩種方法,左邊的方法是錯的,右邊的法子才對

  以此類推,現在我們可以說,如果非要將四維物體“擠入”三維空間,那它難免會有些零件左右支棱,但我們的確可以討論各種四維圖形在我們這個三維空間中的投影。不過你必須記住,既然三維物體在二維面上的投影只有兩個維度,那麼四維超物體在普通三維空間內的投影也必然是三維的。

  為了更清楚地理解這一點,首先我們不妨試想一下,生活在二維面上的影子生物該如何理解三維立方體的概念;我們能夠輕而易舉地想像這一幕,是因為我們生活在“更高級”的三維空間里,所以我們才能從上方,也就是從第三個方向,觀察這個二維世界。

  要將一個立方體“壓進”二維面,唯一的辦法就是按照下圖所示的方法將它“投射”到這個面上。如果我們的二維朋友看到這個投影,以及旋轉立方體得到的其他方向的投影,那麼他們至少會對這個名為“三維立方體”的神秘物體形成一些粗淺的理解。

二維生物驚訝地望著三維立方體投射在他們生活的二維面上的影子
二維生物驚訝地望著三維立方體投射在他們生活的二維面上的影子

  他們當然無法“跳出”自己所在的二維空間,像我們一樣親眼觀察這個立方體的模樣,但通過二維投影,他們至少會發現,這個立方體擁有8個頂點和12條邊。現在看看下面那張圖,你會發現自己的處境和那些在二維面上研究三維立方體的可憐的影子生物完全一樣。

  畫面上這驚奇的一家子正在研究的那個複雜的奇怪結構實際上是四維超立方體在普通三維空間內的投影。(更確切地說,你在下面這張圖中看到的是四維超立方體在三維空間內的投影在二維紙面上留下的投影。)

  仔細研究這個圖形,你很容易發現超立方體的一些特性,和上圖中那些困惑的影子生物觀察到的差不多:三維立方體在平面上的投影表現為兩個嵌套正方形,它們的頂點兩兩相連;而超立方體在三維空間內的投影由兩個嵌套立方體組成,頂點同樣兩兩相連。

  數一數你就知道,這個超立方體一共有16個頂點,32條邊和24個面。看起來真夠怪的,對吧?

來自第四維的客人!四維超立方體的直接投影
來自第四維的客人!四維超立方體的直接投影

  現在,我們再來看看四維球體是什麼樣的。要完成這個目標,我們最好換個更熟悉的例子,就是普通球體在二維面上的投影。假設有一個透明的地球儀,上面標出了所有的大洲和大洋,現在我們將它投影到一面白牆上(如下圖)。

地球的平面投影
地球的平面投影

  當然,在這幅投影圖中,前後兩個半球必然重疊,要是只看投影,你沒準會覺得美國紐約和中國北京隔得很近。但這是一個錯誤的印象。

  事實上,投影上的每一個點都代表著實際球體上兩個相對的點,如果有一架航班從紐約飛往中國,那麼你將看到,飛機先是一路朝著平面投影的邊緣移動,然後再原路返回。兩個不同航班在投影圖上的航跡可能重疊,但只要這兩架飛機“實際”上位於兩個不同的半球,那它們絕不會迎面撞上。

  以上就是普通球體二維投影的特性。再發揮一點想像力,我們應該不難揣想四維超球體在三維空間內的投影會是什麼樣。

  三維球體在二維面上的投影是兩個點對點重疊的圓盤,它們只通過共同的邊緣相連;那麼超球體的三維投影必然是兩個重疊的球體,只通過共同的表面相連。這個奇特的結構我們在上一章中已經討論過了,當時我們舉這個例子是為了說明類似封閉球面的封閉三維空間。

  所以現在,我們只需要補充一句:四維球體的三維投影就是上一章中那個連體嬰兒般的“雙重Apple”,它由兩個果皮完全重疊的Apple組成。(如下圖)

  以此類推,我們還可以回答關於四維物體特性的很多問題。只是無論怎麼嚐試,我們可能都無法“想像”,我們這個物理空間中還有第四個獨立的維度。

  三維空間中的任意位置都能用前後、左右、上下三個維度來表達。如果我們來到一座陌生的城市,詢問酒店前台某家著名公司的位置,那麼店員也許會說:“往南走五個街區,然後右轉經過兩個街區,直接上七樓。”

  這三個數字通常被稱為坐標,事實上,要前往一個確定的目的地,無論起點如何變化,只要有一套能夠正確描述新起點與目的地之間方位關係的坐標系,我們總能找到正確的方向。

  而第四個維度難以想像的原因在於,它不受前後、左右、上下這三個維度的控製,在人們的頭腦里,它是“空間”(三維世界)之外的奇怪存在。

  但只要再想想,你會發現第四個維度其實並不神秘。有一個東西,它不受前後、左右、上午的控製,而且,我們不會把它和“空間”聯繫在一塊兒。這個東西我們大部分人每天都會用到,它可以被視為、而且實際上就是物理世界中的第四個維度,這個詞就是“時間”。

  在我們描述周圍發生的事件時,時間常常是一個和空間並列的度量。當我們談到宇宙中發生了什麼,無論是你在街上意外邂逅了一位老朋友,還是一顆遙遠的恒星發生了爆炸,一般情況下,我們不光會提到事件發生的位置,還會陳述它發生的時間。通過這種方式,我們為三維空間中的事件引入了第四個維度:日期。

  進一步思考這個問題,你也很容易發現,每個物理物體都有四個維度,其中三個是空間維度,還有一個是時間維度。你住的房子在長度、寬度、高度和時間這四個維度上延展,它在時間維度上的跨度始於建成之日,終於毀滅那一天——無論是燒燬、拆毀還是因年久失修而倒塌。

  確切地說,時間這個維度和空間的三個維度不太一樣。時間的跨度(間隔)由鍾表來度量,秒針嘀嗒嘀嗒,整點叮咚報時;而測量空間距離的工具是尺子。你可以用同一把尺子測量長度、寬度和高度,但卻不能把它變成鍾來測量時間。

  除此以外,你可以在空間中向前、向右或者向上移動,然後再返回原地,但時間一路向前,從不回頭,你只能被動地從過去來到現在,再去往未來。這是第四個維度和空間的三個維度最不同的地方:它變了就是變了,無法複原。

  儘管時間的維度和空間的三維有這麼多的不同之處,但我們依然可以將時間當成第四個維度,用它來描述這個世界上的物理事件,只是不要忘了,時間和空間的確不太一樣。

  選定了時間作為第四個維度以後,我們會發現,想像本章開頭提及的四維圖形變得簡單多了。比如說,你還記得那個四維立方體的奇怪投影吧?它有16個頂點、32條邊和24個面!面對這樣的幾何怪胎,難怪看到四維立方體的人都一臉驚訝。

  但是,現在我們換個角度來看,四維立方體實際上是一個存在於特定時間段內的普通立方體。假設你在5月7日用12根線搭了一個立方體,一個月後再把它拆了,那麼現在,立方體的每個頂點都可被視作時間維度上跨度為一個月的一條線。你可以在立方體的每個頂點上貼一本小小的日曆,然後每天翻一頁,借此表示時間的流逝。

  現在我們可以輕鬆數出這個四維圖形有幾條邊了。事實上,這個立方體從誕生之初起就擁有空間中的12條邊,然後在時間維度上它還擁有8個頂點拉出的8條邊,最後,在被拆毀的那一天,它在空間中還有12條邊。(如果你還是無法理解,不妨想像一個擁有4個頂點和4條邊的正方形,如果我們在垂直於這個正方形的方向(第三個維度)上將它移動一段等於其邊長的距離,它就會變成一個立方體。)一共32條邊。

  以此類推,我們也可以數出16個頂點:5月7日有8個空間頂點,6月7日也有8個空間頂點,總計16個頂點。至於這個四維立方體的面應該怎麼數,這個問題就留給各位讀者自己練習吧。不過請記住,四維立方體的面有一部分是普通三維空間中的面,還有一部分則是“半空間半時間”的,它們的邊就是從5月7日延展到6月7日的那幾條時間維度上的線。

  我們在此介紹的四維立方體的所有特性當然同樣適用於其他任何幾何圖形或物體,無論是死的還是活的。

  說到這裏,我們可以想一想,怎樣去理解自己在時間這個維度中的存在呢?

  確切地說,你可以把自己想像成一個四維物體,類似在時間的長河裡延展的一根長橡膠棒,它始於你的誕生之日,終於生命結束的時候。可惜的是,我們在紙上畫不出這樣的四維圖形,所以在下圖中,我們試著用二維的影子人代替三維的你,再將垂直於二維平面的時間作為第三個維度,力求幫助你理解這個概念。

  圖中畫出的只是這位影子人生命中的一小段時間,要想畫出他的一生,那得換一根長得多的橡膠棒。起初這根棒子很細,因為影子人還小,漫長的幾十年里,棒子不斷扭動,直到影子人死亡那天才會凝固下來(因為死人不會動),然後開始崩解。

  更準確地說,這根四維橡膠棒實際上分為無數根彼此獨立的纖維,每根纖維內部又有許多互不相幹的原子。在你的一生中,大部分纖維會始終聚合在一起形成一束,只有一小部分會中途散逸,比如說在你剪頭髮或者剪指甲的時候。既然原子不會毀滅,那麼我們可以認為,人死後屍體腐爛的過程其實就是所有獨立纖維(可能除了構成骨骼的那些纖維以外)分道揚鑣,四下瀰散。

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